• VTEM Image Show


Состояние школьного математического образования в ЧР и некоторые меры по его улучшению

IMG 9958-mДается обзор состояния  математического образования в школах Чеченской республики и предлагается система мер по его улучшению.

I. Введение. После распада СССР, стоявшего особняком от западного мира, Россия приняла курс на интеграцию с ним и проводимые сейчас реформы в области образования, являются частью этого общего процесса, связанные с вхождением российской системы образования в западную. По отношению к математическому образованию эти реформы воспринимаются неоднозначно и многими известными математиками подвергались резкой критике.

В СССР школьное математическое образование было ориентировано на привитие и расширение определенных навыков мышления и вместе с мощной системой (олимпиады, математические школы и т.д.) отбора способных школьников, охватившее все огромное государство, создало условия, благоприятные для выявления и развития способных к математике детей. В отличие от этого массовое обучение математике на Западе носит несколько «рецептурный» характер. Но при этом надо иметь ввиду, что западная система многовариантна – она также включает в себя структуры, ориентированные на работу с талантливой молодежью. Эта демократичность образовательной среды с ее большим спектром образовательных услуг – отличительная черта западной образовательной системы от советско-российской.

Естественно,  как и при проведении любых крупных реформ, многие изменения носят неоднозначный характер и, порой, однозначно ошибочный характер. Но проблемы, возникающие здесь и имеющие общероссийский характер, отступают на второй план на фоне других проблем в системе образования ЧР. Они являются следствием перерывов в учебном процессе в 1994-5 и 1999-2000 годах и военно-политических событий тех лет, приведших к оттоку квалифицированных кадров, в результате перехода в другие сферы деятельности и естественной убыли, и прекращения воспроизводства квалифицированных учительских кадров.

II. Основные проблемы школьного математического образования в ЧР.

II.1. Уровень подготовки по математике в школах ЧР.  Приводимые ниже выводы получены  по итогам контрольных работ по курсу элементарной математики, регулярно проводимых среди студентов Чеченского государственного университета 1-2 курсов математических и физических специальностей;  в результате общения со знакомыми учителями математики и школьниками-родственниками; анализа ситуации вокруг ЕГЭ по математике; анализа вступительных экзаменов по математике в ЧГУ в 1995-2005 годы. Первая и последняя выборки на наш взгляд достаточно репрезентативны.

Основные пробелы в подготовке школьников:

1. Отсутствие вычислительных навыков. Большинство выпускников не умеют производить арифметические операции над выражениями, содержащими дроби в различных формах. Подавляющее большинство не умеют переводить бесконечные периодические десятичные дроби в обыкновенные и наоборот. Не владеют приближенными вычислениями, не знакомы с понятиями относительной и абсолютной погрешностей.

2. Нет навыков работы с буквенными обозначениями.  Не могут провести тождественные преобразования над многочленами, алгебраическими дробями, в частности, многие не умеют раскрывать скобки.

3. Отсутствует какое-либо понимание функциональной зависимости.  Большинство школьников не могут даже в простейших случаях определить области определения и значений функции, обратную функцию, график функции, значение функции для конкретного значения аргумента. Знания по элементарным функциям носят отрывочный и формальный характер.

4. Практически полностью отсутствуют знания по векторному исчислению и его применению. Сведения по стереометрии ограничиваются в лучшем случае визуальным представлением плоскости, параллелепипеда, призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, сферы и формулами объема для некоторых из них.

5. Большинство школьников не могут решать геометрические задачи. У оставшейся части, в основном, знания по планиметрии ограничиваются визуальным знакомством с каким-то количеством стандартных фигур  и формулами площадей для них.

Приведенный список, конечно, требует дополнений, уточнений, детализации.  Но перечисленных выше 5 пунктов уже достаточно, чтобы говорить о глубоком кризисе в школьном математическом образовании в ЧР.  Для более подробного освещения масштабности этого кризиса рассмотрим цели математического образования. 

 II.2. О целях обучения математике в школе.  Перечислим основные темы и мотивировки.

1. Потребности повседневной жизни. У каждого человека регулярно появляется необходимость считать; постоянно используются знания о величинах, характеризующих протяженности, площади, объемы, промежутки времени, скорости и многое другое. Всё это дается на уроках арифметики и геометрии.

2. Подготовка к будущей профессии.  Математика – инструмент, необходимый на множестве рабочих мест. Риэлтер, токарь, менеджер, бухгалтер, консультант по компьютерам и другие – все они для выполнения своих профессиональных обязанностей нуждаются в каком -то владении математикой.

Математика интенсивно используется в большинстве отраслей науки, прежде всего, в естественных, технических, экономических.  Это традиционные области применения математики. Ныне также несомненна необходимость применения математических знаний и математического мышления врачу, лингвисту, историку. Поэтому хороший уровень освоения школьной математики должен быть не только у тех, кто предполагает стать профессиональным математиком, но также и у тех, кто планирует работать в перечисленных выше областях.

3. Овладение деловой прозой. Среди многих функций языка можно выделить две: передавать информацию и передавать эмоции. Например, стихи передают эмоции, а инструкция по эксплуатации какого-то оборудования – информацию. Тексты, бесстрастно передающие информацию, иногда называют деловой прозой. К ней, в частности, относятся естественнонаучные тексты, инструкции, юридические тексты, тексты делопроизводства.

Занятия математикой, приучающие строить свои высказывания ясно и кратко, вкладывая в используемые термины и понятия их точный смысл, избегая смысловой размытости обыденной речи, - наиболее эффективное средство обучения пользоваться первой из перечисленных функций языка. Т.е., занятия математикой приучают правильно высказывать мысли посредством слов и правильно находить в словах выраженную ими мысль.

4. Усвоение навыков алгоритмического мышления. Имеется в виду расширение психологии обучающегося, привитие ему дисциплины мышления, т.е. приверженности к порядку мыслительному и способности следовать этому порядку. Примером такого следования порядку может служить процесс написания программы на каком –либо языке программирования. Это прежде всего умение работать с  информацией: классифицировать, устанавливать связи между разными классами, строить схемы, диаграммы, графики. Нужно также уметь  обрабатывать её по заранее заданным правилам. Последнее приобретает все большее значение в связи с тем, что наш мир становится все более технологичным, информационным.

 5. Усвоение навыков аксиоматического способа мышления.  Другими словами, умение делать выводы на основе какого-то множества предпосылок. В математике есть одна яркая особенность, присущая только ей, и связана она с понятием истины. В естественных науках, скажем в физике или химии, законы, установленные как истинные в каких-то рамках, через некоторое время начинают уточнять, суживать условия применимости, говорить о приближенном характере закона, а, иногда и полностью отказываются от них. Если взять гуманитарные науки, то здесь даже само понятие истины размыто, а убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. В математике же, что делает её отличной от всего другого, однажды доказанная теорема никогда не может быть опровергнута или исправлена. Связано это со способом установления истины в математике: доказать какое-то утверждение – значит установить, что оно есть необходимое логическое следствие тех или иных ранее доказанных теорем или предпосылок.

Правильно поставленные, осмысленные занятия математикой должны способствовать выработке следующих  очень важных в жизни умений. Это – умение отличать истину от лжи, доказанное от недоказанного, умение отличать смысл от бессмыслицы, умение отличать понятное от непонятного.   Нельзя не отметить ещё одну пользу, даваемую личности занятия математикой – это чувство интеллектуальной независимости, являющееся следствием наличия перечисленных выше  умений.  Обдумывая что-то по типу математических рассуждений, на человека не будут давить  ни чей – либо авторитет, ни уловки пропаганды, ни укоренившиеся в сознании общества  и довлеющие над ним мнения.

6. Освоение некоторых этических принципов человеческого общежития. Занятия математикой воспитывают в человеке интеллектуальную честность, объективность, стремление к постижению истины, способность к восприятию  красоты интеллектуальных достижений, познание радости человеческого труда. Математика – наука по природе своей демократическая и на её уроках воспитывается также демократизм.

Если теперь сравнить пункты 1.-5. из II.1  и 1.-6. из II.2. то получим, что в отношении подавляющего большинства школьников нашей республики, школьное математическое образование не достигает ни одной из своих целей, а цели 2-4 не достигаются  в отношении практически всех школьников ЧР.

Выше была обрисована картина в среднем.  А каков же разброс от среднего уровня? По моим наблюдениям, соответствующая дисперсия мало отличается от 0. Имеется небольшое количество выпускников с полным отсутствием подготовки по математике и заметно меньшее количество выпускников с неплохой подготовкой, т.е. таких, по отношению к которым цели 1-4 более или менее достигнуты.  Но это уже не заслуга школы, а следствие родительских возможностей, в том числе и финансовых, а также наличие каких-то склонностей к математике у самих детей.  Большая же часть способных к математике детей (а на самом деле практически все) так и остаются незамеченными никем в сложившейся у нас в республике системе образования. И это несмотря на то, что имеется какое-то число лицеев, гимназий, есть школа воскресного дня для одаренных детей, президентский лицей. Не видно только никаких результатов, ни одаренных детей. За последние 20 лет нет ни одного случая даже участия на всероссийской олимпиаде по математике, нет призера каких-либо соревнований всероссийского уровня, нет случаев поступления в престижные физико-математические вузы.  И этому объяснение только одно, что нет реальной работы, а есть только имитация работы в этих школах с якобы математическим уклоном.

Возвращаясь к обрисованной выше  ситуации в целом по всем школам, попытаемся  разобраться в причинах столь низкого уровня  математического развития наших школьников. На ум приходят слова Менделеева «так как вся польза для страны от распространения  желаемого среднего образования определяется учителем, то в заботах о подъеме нашего среднего образования начинать нужно отнюдь не с программ, а с подготовки надлежащих учительских кадров».

 II.3. О профессионализме учительских кадров.

1. Отсутствие необходимой базовой квалификации у учителей. Есть две темы, понятиями каждой из которых, пронизан весь школьный курс математики. Это – числа и действия над ними и тема функции. Если школьник не освоит их, то и  никаких в других разделах он  не сможет разобраться. Чтобы полноценно объяснить школьникам соответствующие правила и  утверждения, скажем, по числам, учитель должен знать, что такое узловые числа, системы счисления, позиционные и непозиционные, знать различные типы устного счета и  письменных нумераций, быть знакомыми с историей арифметики хотя бы в рамках  [1]. [2]. Он должен уметь производить арифметические операции в различных системах счисления над целыми и дробными числами, представлять в различных формах числа в десятичной системе и производить арифметические действия разными способами (скажем, умножение столбиком и решеткой), знать как строится множество действительных чисел, исходя из множества натуральных чисел. Уверен что, если учитель ясно представляет себе всё это, то на уроках, посвященных понятию числа, изложение темы с  вышеперечисленными элементами будет интересным, мотивированным, доходчивым, полезным, запоминающимся, понятным. После таких уроков, несомненно, большая часть  учащихся научится свободно пользоваться числами, в том числе производить арифметические операции над ними.  Но у нас только очень малая часть школьников умеют складывать и умножать дроби. Значит, нет у нас таких уроков. Значит, нет у нас  учителей, разбирающихся в описанной выше теме, или их настолько мало, что они парализованы в своих действиях общей тяжелой ситуацией. Значит, базовая квалификация наших учителей в среднем находится на очень низком уровне. Такая же ситуация и с темой функции.  А, как отмечалось выше, это определяющие темы в школьной математике, к тому же простые по сравнению с другими разделами.

2. Причины низкой базовой квалификации у учителей ЧР. Одной из черт математики, которую необходимо учитывать при её изучении и преподавании, является её «протяженность», т.е. длина цепочек связей, в которых каждая очередная концепция основывается на других. Эти цепочки присущи и другим наукам, но в математике они несравненно длиннее.  Нельзя надеть очередное звено на цепочку, не имея предыдущего.  Например, нельзя изучать элементарные функции, не понимая, что такое числа; нельзя изучать производную, не зная, что такое функция и не имея какого-то набора функций, в частности, элементарных; нельзя изучать дифференциальные уравнения, не зная производной и так далее.

Теперь вспомним конец 90-ых годов прошлого века.  Распад СССР самым тяжелым образом сказался, как всем известно, на Чеченской республике. И в это время кто как мог выживал. В частности, учителя, не получавшие от своей профессиональной деятельности даже нищенских средств, ушли в другие сферы деятельности, позволявшие им заработать на питание. Контроль за образовательным процессом был полностью утрачен, а наличие его было даже и бессмысленным, и на протяжении более 10 лет уровень образования в наших школах всё время падал и достиг крайне низкой  отметки. Он и сейчас достаточно далек от нормы.  Дело в том, что в отличие от материальной сферы деятельности, в духовной сфере, последствия катастроф сказываются несравненно дольше.  Носителями духовных богатств являются люди, и чтобы положение изменилось к лучшему должно пройти несколько поколений. Объяснение этому видно из нижеследующего.

Итак, окончив школу, немалая часть выпускников устремляется в вузы. И из их числа, выпускники других регионов к нам не поступают, набирается 1-ый курс. В результате, на 1-м курсе на специальности «математика» (ЧГПИ или ЧГУ) оказываются люди, не умеющие складывать числа,  о других недостатках не будем говорить. Готовыми воспринять соответствующие разделы математики оказываются только единицы, в силу указанной особенности «протяженности». Основная масса 1-курсников  не воспринимает материал по специальности, с первых же занятий. Это непонимание, возникшее с самого начала учёбы в вузе, как снежный ком увеличивается по мере продолжения учёбы.  Вынужденные сдавать экзамены и зачеты студенты, вместо того, чтобы пытаться что-то понять, занимаются бессмысленной зубрёжкой. Такая учеба не даёт никакой пользы,  наоборот, она наносит непоправимый вред, как и всякий бессмысленный труд. Человек перестает задавать вопросы: почему, как, откуда, для чего и т.д. Таким образом, в течение 5 лет в процессе так называемой учёбы молодой человек полностью отучивается что-либо познавать. Но при этом получает диплом или учителя математики или математика. Какая-то часть этих выпускников идет в школу учителями математики – занимавшиеся ранее имитацией учебы, начинают заниматься имитацией преподавания математики.  Низкий уровень преподавания приводит к низкому уровню знаний школьников, из их числа вузы набирают студентов и всё повторяется. Этому порочному круг у не менее 15 лет. То есть пополнение учительских кадров в течение последних 15 лет  идет с  очень низкой базовой квалификацией.

Если  мы возьмем более старшее поколение учителей, то большие перерывы в профессиональной деятельности, общая атмосфера отсутствия профессионализма привели также к снижению их профессиональной квалификации.

III. Некоторые меры по улучшению математической подготовки в ЧР.

Не разорвав описанный в II.3. замкнутый круг, мы не получим никакого улучшения в математической подготовке школьников, студентов. Конечно, на каждом уровне необходимо предпринимать какие-то меры, реально способствующие положительным сдвигам. Ниже чуть будет сказано о таких  мерах на уровне вузов. Но главным остаётся вопрос – какое звено самое слабое,  в каком месте реальнее разорвать этот круг?  Если сравнить студентов и школьников в контексте этого вопроса, то школьники более предпочтительнее, т.к. они не несут или несут мало тяжести ошибок предыдущей подготовки.  Итак, если даже рассматривать математическую подготовку в целом и школьную и вузовскую, даже в этом случае в первую очередь надо исправить ситуацию в школе.  И надо начать с детального описания  сложившейся в школе ситуации. Приведем список  действенных, на наш взгляд, мер.

III.1.  Список первоочередных мер.

1. Провести мониторинг среди школьников. Прежде всего, в деталях, самым тщательным образом необходимо определить уровень освоения школьниками учебного материала.  Мониторинг необходимо провести в классах, в которых заканчивается определенный этап в изучении дисциплины. Это - выпускные классы (11-ые),  9-ые («полувыпускные») и 7-ые, где завершается в основном изучение действий над числами.  В 11-ых и 9-ых классах некоторую информацию можно получить в результате анализа итогов ЕГЭ и ГИА. Этот анализ необходимо провести. Но надо иметь ввиду возможную необъективность итогов ЕГЭ.  При подготовке заданий для мониторинга для 11 и 9 классов за основу целесообразно взять задания из ЕГЭ (часть В, скажем) и ГИА. Чтобы получить объективную картину достаточно взять небольшие группы школьников в случайно взятых порядка 10 школах. Контрольные работы  должны охватывать все основные темы и проводиться обязательно анонимно.

2. Выявление разделов, не осваиваемых большинством. В результате проверки контрольных и  анализа результатов  систематизировать типичные ошибки, четко сформулировать проблемы освоения, не выученные темы, если возможно, указать причины пробелов. Провести анализ взаимосвязи этих пробелов, исходя из принципа «протяженности» и выявить те из них, которые являются причиной для других оставшихся.

3. Ликвидация пробелов. Разработать  и для учителей и для школьников учебно-методические материалы по выявленным темам, с учетом  особенностей нашего учебного процесса.  В течение следующего учебного года проводить занятия, используя эти материалы. В конце года повторить пункты 1., 2. и в случае необходимости скорректировать разработанные методические материалы.

4. Мониторинг №1 среди учителей. В рассматриваемом круге вопросов самым важным является квалификация, не методическая, а базовая, учителей. Если эта квалификация  в массовом порядке заметно  ниже нормы, то среди всех других проблем образования, какими – бы они ни были, самой основной будет именно проблема учительской квалификации, т.к. эта проблема является проблемопорождающей.  К сожалению, в нашей ситуации, квалификация учителей крайне низка. Поэтому раньше чем у учащихся школ и более тщательнее и детальнее должен быть проведен  мониторинг среди учителей. Считаю, что будет получена полезная, объективная информация, если учителя сдадут ЕГЭ для школьников. В той же форме, что и для школьников и с заданиями из банка задач для ЕГЭ. Кстати, в Чувашии сдача ЕГЭ учителями является одним из элементов аттестации.  Провести анализ работ в соответствии с п.2. Разбить по количеству набранных баллов, которые должны начисляться по -другому чем у школьников, всех учителей математики республики на группы по 10-15 человек. Индивидуальные результаты не должны иметь никаких юридических последствий и не должны разглашаться.

5. Мониторинг №2 среди учителей. Вполне реальна ситуация, когда учитель  справляется со стандартным курсом школьной математики, но нет потенциала для дальнейшего развития (в силу возраста, особенностей личности). И, наоборот, молодой специалист с низкой квалификацией, с пробелами в знаниях, но сообразительный, с неплохими возможностями для дальнейшего развития. Естественно ожидать, что после прохождения такими учителями интенсивных курсов по соответствующим разделам математики, они заметно повысят свою квалификацию. И таких людей нельзя терять. Чтобы извлечь эту важную информацию необходимо подготовить и провести контрольную на выявление сообразительности, способности к обучению. В соответствии с результатами разбить учителей на группы по 10-15 человек.

6. Проведение учебы учителей. На основании двух списков из пп.4,5 (они, конечно, будут коррелированны  между собой) разбить учителей на группы по 40-50 человек для проведения с ними занятий по темам, вызывающим затруднения у учителей. Тематика и глубина изложения для разных групп будет отличаться. Такой подход к ликвидации недочетов в базовой квалификации будет наиболее эффективным. По материалам занятий имеет смысл издать что-то типа методических указаний для учителей.

7. Проверка эффективности переподготовки учителей. Через год после проведения мероприятий, указанных в пп.4-6 повторить пп.4,5 и в случае необходимости с требуемыми корректировками повторить п.6.

III.2.  Другие меры.

 1. Работа с детьми, имеющих способности к математике.  Очень важное значение в жизни любого общества имеет система, позволяющая заметить способных детей и создающая условия для их развития. В своё время в СССР действовала мощная система, доходившая до самых глухих уголков огромного государства, по отбору и работе с математически одаренными детьми. Сейчас в России восстанавливаются элементы этой системы.  Это особой важности государственная задача. Знаменитые математические образовательные школы начались не только из-за инициатив Колмогорова и Гельфанда, но и потому, что государству это было нужно, и были решения ЦК КПСС о поддержке математических школ. Кроме своего прямого назначения, эти школы способствуют также поднятию уровня математики в обычных школах.

К сожалению, по части  работы с одаренными детьми в республике практически ничего не сделано, есть только  имитация работы. И основная причина такой ситуации заключается в неумении организаторов привлечь к работе людей способных, мыслящих нестандартно. Например, преподаватели в школах для одаренных детей, по крайней мере, сами должны уметь решать   задачи уровня,  соответствующего  одаренности. И это умение должно быть доказано, а не запиарено перед несведущей публикой.

Работа по созданию обсуждаемой системы должна вестись поэтапно. Начать с малого. Если есть результат- постараться закрепиться, расшириться, если нет результата – снизить планку, уменьшить амбиции.  Иначе получится шарлатанство. Считаю самым оптимальным в сложившейся ситуации начать с открытия филиала (коллективный ученик) отделения математики Всероссийской заочной многопрофильной школы при МГУ. Это даст доступ к огромной базе учебных материалов, помощь и контроль со стороны высококвалифицированных специалистов.

2. Языковая проблема. Заметный отрицательный вклад вносит  языковая проблема, имеющая место быть в начальной школе. Дело в том, что овладение русским языком в той мере, чтобы вести на нем обучение, происходит, на наш взгляд, не раньше 4 класса и учеба до этого срока ведется, грубо говоря, на принципах механического запоминания, что неприемлемо, особенно для изучения математики.  Наличие качественной дополнительной литературы по математике для начальных классов на чеченском языкесказалось бы положительным образом на подготовке математике школьников в целом.  Думаю, что издание такой литературы имел бы и коммерческий успех. А переход на чеченский язык при преподавании математики в первых 3-4 классах, что было бы желательным с точки зрения усвоения математики, можно и нужно сделать постепенно, формируя  более или менее богатый фонд соответствующей качественной литературы и учебников по математике для дошкольников и младших школьников.

3. Не учить школьников дифференцировать, если они не умеют раскрывать скобки. Математика – предмет, не терпящий нечестности. Поэтому и процесс обучения математике должен быть предельно честным. Не надо маскировать проблемы, делать вид, что программа школьниками осваивается, хотя на деле это не происходит. В тот момент, когда от человека начинают требовать то, чего он сделать не может в данный момент – честность пропадает. В этот момент все начинают обманывать – и учитель, и ученик.

Если же учить дифференцированию кого-то, не умеющего складывать числа или раскрывать скобки, или ещё что- то подобное, то в лучшем случае в итоге будем иметь следующие «знания» у обучаемого: под  производной  функции будет пониматься  штрих, который ставится справа вверху от обозначения функции, запомнятся правила, говорящие что произойдет, если штрих поставить у произведения, частного, суммы функций, что этот штрих производит со стандартными элементарными функциями. Ну, а обычно ничего не запоминается. А учебный процесс заполняется ложью.

4. Элементы модульного подхода к обучению. Для привития элементарных навыков и умений можно воспользоваться элементами модульной системы, хотя как основную форму обучения математике её нельзя применять. Предполагается, что какие-то разделы математики будут структурированы в автономные организационно-методические блоки, каждый из которых является целостным набором подлежащих освоению знаний, умений, навыков, описанных в форме требований, которым должен соответствовать обучающийся по результатам обучения каждого модуля. После изучения модуля предусматривается аттестация в форме письменной контрольной работы.

5. Использование интернет -ресурсов.  В интернете имеется огромное количество образовательных ресурсов как официальных, так и частных. Учителя должны быть в курсе этих возможностей и в соответствии с уровнем развития своих учеников давать им  рекомендации по использованию интернет –ресурсов, а также самим использовать их на своих занятиях.

6. Учебный процесс в вузе. В п.II.3.2. подробно описана ситуация с подготовкой учителей математики и  математиков в республике.  Ситуация абсурдная и несколько нечестная по отношению к студентам.  Есть причины объективные и очень много причин субъективных такой ситуации.  Это отдельная большая проблема.

Остановимся только на одном предложении, смягчающем неподготовленность абитуриентов. Нужно ввести в 1-ом семестре расширенный курс элементарной математики в объеме 10-12 часов в неделю, оставив из специальных дисциплин только аналитическую геометрию. Остальные спецпредметы (матанализ, алгебра, др.) нужно передвинуть. На 1 курс зачислить всех желающих сдавших ЕГЭ, используя внебюджетные места, установив  чисто символическую стоимость обучения. После 1 –го семестра по результатам сдачи зачета по элементарной математике оставить столько студентов, сколько бюджетных мест.

Приведенный список мер по модернизации школьного  математического образования в ЧР можно и нужно дополнять, корректировать. Но нужно  срочно предпринять какие-то разумные меры, начав  хотя бы со сформулированных  в этой статье предложений.

 

ЛИТЕРАТУРА.

1. Башмакова И.Г. и Юшкевич А.П. Происхождение систем счисления. В кн. Энциклопедия элементарной математики, кН.1-М.: государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951.

2. Депман И.Я.  История арифметики. М.:  Просвещение, 1965.

3. Ященко И. Интервью ПОЛИТ.РУ от 30 июня 2013г.

4. Успенский В.А.   Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. –М.: изд. МЦНМО,2011.

5. Садовничий В.А.  О математике и ее преподавании в школе. Доклад на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ, 28 октября 2010г.

6. Тихомиров В.М. О некоторых проблемах математического образования. Материалы Всероссийской конференции « Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков.», Дубна, -М,: МЦНМО, 2000.

 

В.И. Гишларкаев